Question

7．已知兩定點(diǎn)M（4，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)出P（x，y），可得向量$\overrightarrow{MP}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MN}$=（-3，0），$\overrightarrow{NP}$=（x-1，y），根據(jù)$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|，利用數(shù)量積公式和兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于x，y的方程，化簡(jiǎn)即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），$\overrightarrow{MP}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MN}$=（-3，0），$\overrightarrow{NP}$=（x-1，y），
由$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|，得-3（x-4）=6$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，平方化簡(jiǎn)得3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程，考查了平面數(shù)量積的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．