Question

2．過橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{12}$=1的左頂點A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于點C，交y軸于點D，P為AC中點，定點Q滿足：對于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，則Q點的坐標為（-3，0）．

Answer 1

分析 直線的方程為y=k（x+4），與橢圓聯(lián)立，得（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12]=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式、直線方程、直線垂直、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出定點Q的坐標．

解答 解：直線的方程為y=k（x+4），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，化簡得（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12]=0，
∴x₁=4，x₂=$-\frac{16{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，…（6分）
∴C（$-\frac{16{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{24k}{2{k}^{2}+3}$），
又∵點P為AC的中點，
∴P（$\frac{-16{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$），
則k_OP=-$\frac{3}{4k}$（k≠0），
直線l的方程為y=k（x+4），令x=0，得D（0，4k），
假設(shè)存在定點Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥DQ，則k_OP•k_DQ=-1，
即-$\frac{3}{4k}$•$\frac{4k-n}{0-m}$=-1，
∴（4m+12）k-3n=0恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+12=0}\\{-2n=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=0}\end{array}\right.$，
因此定點Q的坐標為（-3，0），
故答案為：（-3，0）．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理、中點坐標公式、直線方程、直線垂直、橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．