Question

19．若函數(shù)f（x）=2x³-3mx²+6x在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2.5]．

Answer 1

分析 求f′（x）=6x²-6mx+6，根據(jù)題意可知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可設(shè)g（x）=6x²-6mx+6，所以討論△的取值，從而判斷g（x）≥0是否在（2，+∞）上恒成立：△≤0時(shí)，容易求出-2≤m≤2，顯然滿足g（x）≥0；△＜0時(shí)，m需要滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}＜2}\\{g（2）=30-12m≥0}\end{array}\right.$，這樣求出m的范圍，和前面求出的m范圍求并集即可．

解答 解：f′（x）=6x²-6mx+6；
由已知條件知x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）≥0恒成立；
設(shè)g（x）=6x²-6mx+6，則g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；
∴（1）若△=36（m²-4）≤0，即-2≤m≤2，滿足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；
（2）若△=36（m²-4）＞0，即m＜-2，或m＞2，則需：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}＜2}\\{g（2）=30-12m≥0}\end{array}\right.$
解得m≤2.5；
∴m＜-2或2＜m≤2.5．
∴綜上得m≤2.5．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2.5]．
故答案為：（-∞，2.5]．

點(diǎn)評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象，以及判別式△的取值情況和二次函數(shù)取值的關(guān)系．