Question

4．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象上一個最高點(diǎn)為P（2，2），由這個最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與X軸相交于點(diǎn)Q（6，0）．
（1）求這個函數(shù)的解析式；
（2）寫出這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用最大值求出A、周期求出T，再求出φ的值即可；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出該函數(shù)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得；
A=2，$\frac{T}{4}$=6-2，∴T=16，
$\frac{2π}{ω}$=16，
∴ω=$\frac{π}{8}$；
∴sin（$\frac{π}{8}$×6+φ）=0，
又-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$；
∴函數(shù)y=2sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），x∈R；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤$\frac{π}{8}$x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z；
∴-6+16k≤x≤2+16k，k∈Z；
∴該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：[16k-6，16k+2]，k∈Z；
同理，它的單調(diào)遞減區(qū)間是：[16k+2，16k+10]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了分析問題與解決問題的能力，是基礎(chǔ)題目．