Question

9．已知O為△ABC的外心，滿足$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，則△ABC的最大內(nèi)角的余弦值為（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為R，將已知的等式變形后，左右兩邊平方，分別求出cos∠AOB=0，cos∠BOC=-$\frac{4}{5}$，cos∠AOC=-$\frac{3}{5}$，再根據(jù)圓心角等于同弧所對的圓周的兩倍，以及二倍角公式計算即可．

解答 解：設(shè)外接圓的半徑為R，
∵$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
∴3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$，
∴（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$）²=（-5$\overrightarrow{OC}$）²，
∴9（$\overrightarrow{OA}$）²+16（$\overrightarrow{OB}$）²+12$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=25（$\overrightarrow{OC}$）²，
∴9R²+16R²+12$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=25R²，
∴9R²+16R²+12R²cos∠AOB=25R²，
∴cos∠AOB=0，
同理，求得cos∠BOC=-$\frac{4}{5}$，cos∠AOC=-$\frac{3}{5}$，
∴△ABC的最大內(nèi)角∠BAC，
根據(jù)圓心角等于同弧所對的圓周的兩倍得，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴2cos²（∠BAC）-1=cos∠BOC，
∴2cos²（∠BAC）=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$
∴cos²（∠BAC）=$\frac{1}{10}$，
∴cos∠BAC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
故答案為：B．

點評 本小題主要考查三角形外心的應(yīng)用、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．