Question

17．已知函數(shù)$f（x）=|x|-\frac{2}{x-1}$．
（1）試討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（2）若當x∈（b，a）（b＞0）時，函數(shù)y=log_a（f（x））（a＞0且a≠1）的取值范圍恰為（-∞，0），求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）方法1：利用對勾函數(shù)的單調(diào)性進行判斷，
方法2：求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性之間的關系進行判斷求解即可．

解答 解：（1）方法一：因為x＜0，所以$f（x）=-x+\frac{2}{1-x}$-----------------------------------（1分）
令t=1-x＞1，則y=t+$\frac{2}{t}$-1在t∈（1，$\sqrt{2}$）上遞減，在t∈（$\sqrt{2}$，+∞））上遞增-------------（3分）
因為t=1-x為減函數(shù)--------------------------------------------------（4分）
所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1-$\sqrt{2}$，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞減----（6分）
方法二：f′（x）=-1+$\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+2x+1}{（x-1）^{2}}$-----------------------------------------（2分）
由f′（x）＞0得1-$\sqrt{2}$＜x＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1-$\sqrt{2}$，0）上單調(diào)遞增----------（4分）
同理函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞減---------------------------------------（6分）
（2）函數(shù)y=log_a（f（x））的定義域為{x|x＞2或x＜1}-----------------------------（8分）
（i）當（b，a）⊆（0，1）時，f（x）=x-$\frac{2}{x-1}$為單調(diào)遞增函數(shù)，則f（x）≥2，
又0＜a＜1，∴y≤log_a2＜0
故，當（b，a）⊆（0，1）時，y=log_a（f（x））的取值范圍恰為（-∞，0）不成立．------------（10分）
（ii）當（b，a）⊆（2，+∞）時，y=log_a（x-$\frac{2}{x-1}$），
此時f（x）=x-$\frac{2}{x-1}$單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=log_a（f（x））單調(diào)遞增，
又f（2）=0，所以，必有b=2且f（a）=1，
得a²-2a-1=0解得a=1+$\sqrt{2}$或a=1-$\sqrt{2}$（舍）------------------------------------------（12分）
綜上所述，a=1+$\sqrt{2}$，b=2---------------------------------------------------（14分）

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．綜合性較強，考查學生的運算能力．