Question

10．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x$
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若$a=-\frac{1}{2}$，且關(guān)于x的方程$f（x）=-\frac{1}{2}x+b$在[1，4]恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）將a的值代入整理成方程的形式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)考慮其圖象與x軸的交點(diǎn)的問題．

解答 解：（1）f'（x）=-$\frac{{ax}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
依題意f'（x）≥0 在x＞0時(shí)恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
則a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在x＞0恒成立，
即a≤[（$\frac{1}{x}$-1）²-1]_min，x＞0，
當(dāng)x=1時(shí)，（$\frac{1}{x}$-1）²-1取最小值-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]；
（2）a=-$\frac{1}{2}$，f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b，
∴$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0
設(shè)g（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b（x＞0）
則g'（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
列表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴g（x）極小值=g（2）=ln2-b-2，g（x）極大值=g（1）=-b-$\frac{5}{4}$，
又g（4）=2ln2-b-2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
則 $\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$，得ln2-2＜b≤-$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．