Question

1．若直線1：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）把圓C：（x+4）²+（y+1）²=16分成面積相等的兩部分，則當(dāng)ab取得最大值時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線1的距離是（　�。�

• A． 4
• B． 8$\sqrt{17}$
• C． 2
• D． $\frac{8\sqrt{17}}{17}$

Answer 1

分析 由題意，圓心（-4，-1）代入直線1：ax+by+1=0，可得4a+b=1，利用基本不等式求最值，可得a，b的值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，圓心（-4，-1）代入直線1：ax+by+1=0，可得4a+b=1，
4a+b=1$≥4\sqrt{ab}$，∴ab≤$\frac{1}{16}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{8}$，b=$\frac{1}{2}$時(shí)，ab取得最大值，
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線1的距離是$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{1}{4}}}$=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及基本不等式的運(yùn)用，關(guān)鍵是分析得到直線1：ax+by+1=0過(guò)圓的圓心．