Question

8．（1）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）對任意非零實數(shù)a和b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．
（2）設(shè)函數(shù)$f（x）=（2{log_4}x-\frac{1}{2}）$，若f（x）≥mlog₄x對于任意x∈[4，16]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a≠0，由不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）?|2+x|+|2-x|≤$|\frac{a}+2|$+$|\frac{a}-2|$，由于4≤$|\frac{a}+2|$+$|\frac{a}-2|$，即可得出．
（2）由x∈[4，16]，可得log₄x∈[1，2]，而f（x）≥mlog₄x化為m≤$\frac{2lo{g}_{4}x-\frac{1}{2}}{lo{g}_{4}x}$=2-$\frac{1}{2lo{g}_{4}x}$，再利用反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵a≠0，∴不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）?|2+x|+|2-x|≤$|\frac{a}+2|$+$|\frac{a}-2|$，
∵4≤$|\frac{a}+2|$+$|\frac{a}-2|$，∴||2+x|+|2-x|≤4，∴x∈[-2，2]．
∴實數(shù)x的取值范圍是[-2，2]．
（2）∵x∈[4，16]，∴l(xiāng)og₄x∈[1，2]，
∴f（x）≥mlog₄x化為m≤$\frac{2lo{g}_{4}x-\frac{1}{2}}{lo{g}_{4}x}$=2-$\frac{1}{2lo{g}_{4}x}$∈$[\frac{3}{2}，\frac{7}{4}]$．
∵f（x）≥mlog₄x對于任意x∈[4，16]恒成立，
∴$m≤\frac{3}{2}$．
∴實數(shù)m的取值范圍是$m≤\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了含絕對值不等式的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、反比例函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．