Question

10．已知拋物線 y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為 l，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E，當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為 （3，y₀）時(shí)，△AEF為正三角形，則此時(shí)△OAB的面積為（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 過F作AE的垂線，垂足為H，則H為AE的中點(diǎn)，利用A點(diǎn)坐標(biāo)為 （3，y₀），可求p，可得拋物線的方程，求出直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出A，B的坐標(biāo)，即可求出△OAB的面積．

解答 解：如圖所示，過F作AE的垂線，垂足為H，則H為AE的中點(diǎn)，
因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為 （3，y₀），
所以AE=3+$\frac{p}{2}$，EH=p，
所以2p=3+$\frac{p}{2}$，
所以p=2，
所以y²=4x，此時(shí)A（3，2$\sqrt{3}$），k_AF=$\sqrt{3}$，
所以直線AF的方程為$y=\sqrt{3}$（x-1），
代入拋物線方程可得3（x-1）²=4x，解得x=3或$\frac{1}{3}$，
所以y=2$\sqrt{3}$或-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以△AOB的面積為$\frac{1}{2}×1×（2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}）$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出拋物線方程、直線AF的方程是解題的關(guān)鍵．