Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+$\frac{1-m}{x}$（m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m≤$\frac{1}{4}$時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-2x+n，當(dāng)m=$\frac{1}{12}$時(shí)，若對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，然后討論m的范圍，得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）根據(jù)（2）求出對(duì)任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=$\frac{5}{6}$，然后根據(jù)題意可知存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤$\frac{5}{6}$，解之即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-m+$\frac{m-1}{{x}^{2}}$=$\frac{-{mx}^{2}+x+m-1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=-mx²+x+m-1（x∈（0，+∞））
當(dāng)m=0時(shí)，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
當(dāng)m≠0時(shí)，h（x）=-m（x-1）[x-（$\frac{1}{m}$-1）]，
當(dāng)m＜0時(shí)，$\frac{1}{m}$-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
0＜m≤$\frac{1}{4}$時(shí)，0＜1＜$\frac{1}{m}$-1，f（x）在（0，1），（$\frac{1}{m}$-1，+∞）上是減函數(shù)，f（x）在（1，$\frac{1}{m}$-1）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)m=$\frac{1}{12}$時(shí)，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，f（x）在（1，2）上是增函數(shù)
∴對(duì)任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=$\frac{5}{6}$，又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以g（x₂）≤$\frac{5}{6}$，x₂∈[1，2]，
即存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤$\frac{5}{6}$ 即n-1≤$\frac{5}{6}$，解得n≤$\frac{11}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．