Question

20．已知定義在R的函數(shù)f（x）滿足：
①f（-x）=f（x）；
②f（x-2）=f（x）；
③?x₁，x₂∈[0，1]（x₁≠x₂），$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0．
則（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）對稱
• C． 函數(shù)f（x+1）在區(qū)間[2013，2014]內(nèi)單調(diào)遞增
• D． 函數(shù)f（x+1）的最小正周期為1

Answer 1

分析 由已知條件得到函數(shù)為偶函數(shù)，且為以周期為2的周期函數(shù)，并在[0，1]上單調(diào)遞增，再根據(jù)圖象的平移，即可判斷正確答案．

解答 解：由①f（-x）=f（x）可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，由②f（x-2）=f（x）可得函數(shù)f（x）是以周期為2的周期函數(shù)，
由③?x₁，x₂∈[0，1]（x₁≠x₂），$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0可得函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴故A，B錯誤，
∵函數(shù)f（x+1）是由函數(shù)f（x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，
∴周期不變，故D錯誤，
∴函數(shù)f（x+1）在區(qū)間[2013，2014]內(nèi)單調(diào)性和區(qū)間[-1，0]上的單調(diào)一致，
∵函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x+1）在[-1，0]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x+1）在區(qū)間[2013，2014]內(nèi)單調(diào)遞增，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查二樓函數(shù)奇偶性，單調(diào)性周期性和圖象的平移變換，屬于中檔題．