Question

1．已知數(shù)列{a_n}是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為${S_n}=\frac{n}{2n+1}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}={（-1）^n}{a_{\frac{n（n+1）}{2}}}$，求數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）由題意知，${b_n}={（-1）^n}{a_{\frac{n（n+1）}{2}}}={（-1）^n}[n（n+1）-1]$，再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
令n=1，得$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}=\frac{1}{3}$，所以a₁a₂=3．
令n=2，得$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}=\frac{2}{5}$，所以a₂a₃=15．
解得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1．
（II）由題意知，${b_n}={（-1）^n}{a_{\frac{n（n+1）}{2}}}={（-1）^n}[n（n+1）-1]$，
所以${T_{2n}}=-（1•2-1）+（2•3-1）-（3•4-1）+…+{（-1）^{2n}}[2n（2n+2）-1]$
=[-（1•2-1）+（2•3-1）]+[-（3•4-1）+（4•5-1）…+{-[2（n-1）•2n-1]+[2n（2n+2）-1]}
=4+8…+4n=$\frac{n（4+4n）}{2}=2{n^2}+2n$．

點評 本題考查了數(shù)列a_n與S_n的關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．