Question

11．某校高一某班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞，但可見部分如下，據此解答如下問題：

（Ⅰ）求分數在[50，60）的頻率及全班人數；
（Ⅱ）求分數在[80，90）之間的頻數，并計算頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高；
（Ⅲ）若規(guī)定：75（包含75分）分以上為良好，90分（包含90分）以上為優(yōu)秀，要從分數在良好以上的試卷中任取兩份分析學生失分情況，設在抽取的試卷中，分數為優(yōu)秀的試卷份數為X，求X的概率分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出分數在[50，60）的頻率，由莖葉圖得分類在[50，60）的人數，由此能求出全班人數．
（Ⅱ）由莖葉圖能求出分數在[80，90）之間的頻數，由此能求出頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高．
（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，由莖葉圖知分數在良好以上有11人，其中分數為優(yōu)秀有2人，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得分數在[50，60）的頻率為0.008×10=0.08，
由莖葉圖得分類在[50，60）的人數為2人，
∴全班人數為：$\frac{2}{0.08}$=25人．
（Ⅱ）由莖葉圖得分數在[80，90）之間的頻數為：
25-2-7-10-2=4人，
∵成績?yōu)閇80，90）間的頻數為4，
∴頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為：$\frac{4}{25×10}$=0.016．
（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，
由莖葉圖知分數在良好以上有11人，其中分數為優(yōu)秀有2人，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{11}^{2}}$=$\frac{36}{55}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{9}^{1}}{{C}_{11}^{2}}$=$\frac{18}{55}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{11}^{2}}$=$\frac{1}{55}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{36}{55}$	$\frac{18}{55}$	$\frac{1}{55}$

E（X）=$0×\frac{36}{55}+1×\frac{18}{55}+2×\frac{1}{55}$=$\frac{4}{11}$．

點評 本題考查莖葉圖、頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．