Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大的內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小角的余弦值為（　�。�

• A、

  3

  4

• B、

  5

  6

• C、

  7

  10

• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：設(shè)三邊依次是x-1，x，x+1，其中x是自然數(shù)，且x≥2，令三角形的最小角為A，則最大角為2A，利用正弦定理列出關(guān)系式，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，兩者相等求出x的值，確定出三邊長(zhǎng)，即可求出最小值的余弦值．

解答： 解：設(shè)三邊依次是x-1，x，x+1，其中x是自然數(shù)，且x≥2，
令三角形的最小角為A，則最大角為2A，
由正弦定理，有：

x-1

sinA

=

x+1

sin2A

=

x+1

2sinAcosA

，
∴cosA=

x+1

2(x-1)

，
由余弦定理，有：cosA=

x2+(x+1)2-(x-1)2

2x(x+1)

，
∴

x+1

2(x-1)

=

x2+(x+1)2-(x-1)2

2x(x+1)

，即

x+1

x-1

=

x2+4x

x2+x

=

x+4

x+1

，
整理得：（x+1）²=（x-1）（x+4），
解得：x=5，
三邊長(zhǎng)為4，5，6，
則cosA=

52+62-42

2×5×6

=

3

4

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．