Question

對于曲線C：f（x，y）=0，若存在最小的非負(fù)實(shí)數(shù)m和n，使得曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，則稱曲線C為有界曲線，且稱點(diǎn)集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}為曲線C的界域．
（1）寫出曲線（x-1）²+y²=4的界域；
（2）已知曲線M上任意一點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O與直線x=1的距離之和等于3，曲線M是否為有界曲線，若是，求出其界域，若不是，請說明理由；
（3）已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積為常數(shù)a（a＞0），求曲線的界域．

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得（x-1）²≤4，y²≤4，由此能求出曲線（x-1）²+y²=4的界域．
（2）設(shè)P（x，y），則

x2+y2

+|x-1|=3，從而得到-1≤x≤2，-2

2

≤y≤2

2

，由此得到曲線M為有界曲線，并能求出求出其界域．
（3）由已知得：

(x-1)2+y2

×

(x+1)2+y2

=a，

x2-2x+1+y2

×

x2+2x+1+y2

=a，從而得到|x|≤

a+1

，y2=

4x2+a2

-(x2+1)，進(jìn)而得到|y|≤

a-1

，由此能求出曲線C界域．

解答： 解：（1）∵曲線（x-1）²+y²=4，
∴（x-1）²≤4，y²≤4，
∴-1≤x≤3，-2≤y≤2，
∴界域?yàn)閧（x，y）||x|≤3，|y|≤2}．
（2）設(shè)P（x，y），則

x2+y2

+|x-1|=3，
化簡，得：y²=

4x+4，-1≤x≤1 16-8x，1≤x≤2

，
∴-1≤x≤2，-2

2

≤y≤2

2

，
∴界域?yàn)閧（x，y）||x|≤2，|y|≤2

2

}．
（3）由已知得：

(x-1)2+y2

×

(x+1)2+y2

=a，

x2-2x+1+y2

×

x2+2x+1+y2

=

(x2+y2+1)2-4x2

=a，
∴（x²+y²+1）²-4x²=a²，∴y2=

4x2+a2

-(x2+1)，
∵y²≥0，∴

4x2+a2

≥x2+1，∴（x²+1）²≤4x²+a²，
∴（x²-1）²≤a²，∴1-a≤x²≤a+1，∴|x|≤

a+1

，
y2=

4x2+a2

-(x2+1)，
令t=

4x2+a2

，x2=

t2-a2

4

，
y2=t-(

t2-a2

4

+1)=-

1

4

(t-2)2+

a2

4

≤

a2

4

，
當(dāng)t=2，即x2=1-

a2

4

時(shí)，等號成立．
若0＜a≤2，1-

a2

4

∈[1-a，1+a]，x2=1-

a2

4

時(shí)，ymin2=

a2

4

，
∴|y|≤

a

2

，
若a＞2，1-

a2

4

＜0，x2≠1-

a2

4

，∴x=0時(shí)，ymax2=a-1，
∴|y|≤

a-1

，∴曲線C界域?yàn)椋?br />①0＜a≤2時(shí)，{（x，y）|x|≤

a+1

，|y|≤

a

2

}．
②a＞2時(shí)，{（x，y）||x|≤

a+1

，|y|≤

a-1

}．

點(diǎn)評：本題考查曲線的界域的求法，考查曲線是否為有界曲線的判斷與界域的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．