Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2k{x^2}}}{x+1}，x∈（{\frac{1}{2}，1}]\\-\frac{1}{3}x-\frac{1}{12}，x∈[{0，\frac{1}{2}}]\end{array}$，g（x）=$\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}（{0≤x≤1}）$，其中實(shí)數(shù)k為常數(shù)．
（1）求g（x）的值域．
（2）若函數(shù)f（x）是區(qū)間[0，1]的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，若對(duì)任何x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[0，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令2x+1=t（1≤t≤3），則2x=t-1，將g（x）轉(zhuǎn)化為對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，可得值域；
（2）由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在[0，1]遞減，進(jìn)而判斷x∈（$\frac{1}{2}$，1]遞減，轉(zhuǎn)化為對(duì)號(hào)函數(shù)判斷k＜0，再由x=$\frac{1}{2}$的情況，得到不等式，求得k的范圍；
（3）求得f（x）的值域，再由條件可得g（x）的值域⊆f（x）的值域，即有[-4，-3]⊆[k，$\frac{k}{3}$）．即為k≤-4且-3＜$\frac{k}{3}$，即可求得k的范圍．

解答 解：（1）令2x+1=t（1≤t≤3），則2x=t-1，
即有g(shù)（x）=$\frac{{t}^{2}-8t+4}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-8，在[1，2]遞減，在[2，3]遞增，
即有t=2取得最小值-4，t=1取得最大值-3．
則g（x）的值域?yàn)閇-4，-3]；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]，f（x）遞減，則f（x）是區(qū)間[0，1]的單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，f（x）=$\frac{2k（t-1）^{2}}{t}$（t=x+1∈（$\frac{3}{2}$，2]）=2k（t+$\frac{1}{t}$-2），
由于t+$\frac{1}{t}$在（$\frac{3}{2}$，2]遞增，則k＜0，
又f（x）在[0，1]遞減，即有$\frac{2k•\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}$≤-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$，
解得k≤-$\frac{3}{4}$；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]，f（x）∈[-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{12}$]；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1]，f（x）=2k（t+$\frac{1}{t}$-2）（$\frac{3}{2}$＜t≤2），
可得f（x）∈[k，$\frac{k}{3}$）．（k≤-$\frac{3}{4}$），
即有f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{12}$]∪[k，$\frac{k}{3}$）．
又g（x）的值域?yàn)閇-4，-3]，
由對(duì)任何x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[0，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
可得g（x）的值域⊆f（x）的值域，
即有[-4，-3]⊆[k，$\frac{k}{3}$）．
即為k≤-4且-3＜$\frac{k}{3}$，
解得-9＜k≤-4．
則k的范圍是（-9，-4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，同時(shí)考查任意存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域的關(guān)系，屬于中檔題和易錯(cuò)題．