Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$在點(diǎn)（1，f（1））處切線與x軸平行．求實(shí)數(shù)a的值及f（x）的極值．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值及f（x）的極值．

解答 解：函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-（a+lnx）}{{x}^{2}}$=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=$\frac{1-a-ln1}{{1}^{2}}$=0，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，
f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值1，無極小值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a，以及函數(shù)極值，屬于中檔題．