Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，${a}_{n+1}=\sqrt{\frac{{a}_{n}}{2}}$，n∈N^*，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)${a}_{n+1}=\sqrt{\frac{{a}_{n}}{2}}$可知2${{a}_{n+1}}^{2}$=a_n，對(duì)等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)、整理可得1+log₂a_n+1=$\frac{1}{2}$（1+log₂a_n），進(jìn)而數(shù)列{1+log₂a_n}是以2為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵${a}_{n+1}=\sqrt{\frac{{a}_{n}}{2}}$，
∴2${{a}_{n+1}}^{2}$=a_n，
∴l(xiāng)og₂（2${{a}_{n+1}}^{2}$）=log₂2+log₂${{a}_{n+1}}^{2}$=log₂a_n，
整理得：1+2log₂a_n+1=log₂a_n，
∴1+log₂a_n+1=$\frac{1}{2}$（1+log₂a_n），
又∵1+log₂a₁=1+log₂2=2，
∴數(shù)列{1+log₂a_n}是以2為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴1+log₂a_n=2•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴l(xiāng)og₂（2a_n）=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴2a_n=${2}^{\frac{1}{{2}^{n-2}}}$=${2}^{{2}^{2-n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•${2}^{{2}^{2-n}}$=${2}^{{2}^{2-n}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．