Question

9．已知直線1與雙曲線C：x²-y²=2的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)在該雙曲線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入漸近線的方程，求得A，B的坐標(biāo)，可得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，運(yùn)用直角三角形的面積公式計(jì)算即可得到．

解答 解：雙曲線C：x²-y²=2即為$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
可得a=b=$\sqrt{2}$，漸近線方程為y=±x，
若直線l的斜率不存在，可設(shè)x=t，
即有A（t，t），B（t，-t），中點(diǎn)為（t，0），
代入雙曲線的方程可得t=±$\sqrt{2}$，
直角三角形AOB的面積為$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$=2；
若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
代入漸近線方程，可得A（$\frac{m}{1-k}$，$\frac{m}{1-k}$），B（$\frac{m}{-1-k}$，$\frac{m}{1+k}$），
求得AB的中點(diǎn)為（$\frac{km}{1-{k}^{2}}$，$\frac{m}{1-{k}^{2}}$），
代入雙曲線的方程可得m²=2（1-k²），①
由題意可得A，B在y軸的同側(cè)，可得$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}-1}$＞0，
①顯然不成立．
綜上可得，△AOB的面積為2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式和三角形的面積計(jì)算公式，屬于中檔題．