Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，它的一個焦點恰好是拋物線y²=4x的焦點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若上述橢圓的左焦點到直線y=x+m的距離等于$\sqrt{2}$，求該直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，求得拋物線的焦點，可得c=1，由a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得橢圓的左焦點，運用點到直線的距離公式，可得m，進(jìn)而得到直線方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，可得b=1，
由拋物線y²=4x的焦點（1，0），可得c=1，
則a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由橢圓的左焦點（-1，0）到直線y=x+m的距離等于$\sqrt{2}$，
可得d=$\frac{|-1-0+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
解得m=3或-1．
則所求直線方程為y=x+3或y=x-1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用拋物線的焦點，考查點到直線的距離公式的運用，以及運算能力，屬于基礎(chǔ)題．