Question

2．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）一$\frac{ax}{x+1}$（a＞0）．
（I）當(dāng)f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：${（\frac{2015}{2016}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，f′（x）=$\frac{x+1-a}{（x+1）^{2}}$≥0，結(jié)合a＞0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）要證明${（\frac{2015}{2016}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$，只要證明$（\frac{2016}{2015}）^{2016}$＞e，兩邊取對(duì)數(shù)可得2016ln$\frac{2016}{2015}$＞1，只要證明ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＞0，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，其中f（0）=0，即可證明．

解答 （I）解：當(dāng)f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，f′（x）=$\frac{x+1-a}{（x+1）^{2}}$≥0，
即x+1-a≥0在[0，+∞）內(nèi)恒成立，
∴a≤x+1在[0，+∞）內(nèi)恒成立，
又x+1的最小值為1，
∴a≤1，
∵a＞0，
∴0＜a≤1；
（Ⅱ）證明：要證明${（\frac{2015}{2016}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$，只要證明$（\frac{2016}{2015}）^{2016}$＞e，
兩邊取對(duì)數(shù)可得2016ln$\frac{2016}{2015}$＞1，
只要證明ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＞0，
注意到2016=2015+1，所以ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=ln（1+$\frac{1}{2015}$）-$\frac{1}{2015+1}$
=ln（1+$\frac{1}{2015}$）-$\frac{\frac{1}{2015}}{1+\frac{1}{2015}}$．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，其中f（0）=0，
由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴f（$\frac{1}{2015}$）=ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＞f（0）=0，
∴l(xiāng)n$\frac{2016}{2015}$＞$\frac{1}{2016}$，
∴${（\frac{2015}{2016}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．