Question

4．已知定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=alnx+$\frac{1}{ax}$（a＞0），且函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為$\frac{3}{2}$，則方程f（x）=0的實數(shù)根的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，由切線的斜率解方程可得a=2，當x＞0時，由f（x）=0，即為4xlnx+1=0，令g（x）=4xlnx+1，求出導數(shù)，求得單調區(qū)間和極值、最小值，運用零點存在定理，可得g（x）有兩個零點，即x＞0時，f（x）=0有兩個不等實根，由奇函數(shù)的性質可得f（x）=0的實根的個數(shù)，

解答 解：f（x）=alnx+$\frac{1}{ax}$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$，a＞0，
可得函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=2，可得f（x）=2lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，
由f（x）為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，
當x＞0時，由f（x）=0，即為4xlnx+1=0，
令g（x）=4xlnx+1，g′（x）=4（1+lnx），
當0＜x＜$\frac{1}{e}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
當x＞$\frac{1}{e}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
可得x=$\frac{1}{e}$處g（x）取得極小值，且為最小值1-$\frac{4}{e}$＜0，
當x趨向于0時，g（x）趨向于1，g（$\frac{1}{e}$）＜0，g（1）=1＞0，
可得g（x）=0有兩個不等的實根，即f（x）=0有兩個實根；
由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，
可得x＜0時，f（x）=0也有兩個不等的實根．
綜上可得f（x）=0共有5個實根．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的性質和運用，主要是函數(shù)的奇偶性的運用，考查函數(shù)方程的轉化思想，注意運用導數(shù)求出單調區(qū)間和極值、最值，以及函數(shù)零點存在定理的運用，屬于中檔題．