Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-3x，x∈R．
（Ⅰ）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）如果函數(shù)g（x）=x²-$\frac{k}{x}$-3，k∈R有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x³-3x與y=k有3個(gè)不同的交點(diǎn)的問題，求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值，從而求出k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在（0，1）遞減，（1，+∞）遞增，
證明如下：
f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{3}$-3x₁）-（${{x}_{2}}^{3}$-3x₂）
=（${{x}_{1}}^{3}$-${{x}_{2}}^{3}$）-（3x₁-3x₂）
=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$-3），
設(shè)x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，0＜${{x}_{1}}^{2}$＜1，0＜${{x}_{2}}^{2}$＜1，0＜x₂x₁＜1，
${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$-3＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，${{x}_{1}}^{2}$＞1，${{x}_{2}}^{2}$＞1，x₂x₁＞1，
${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$-3＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
綜上，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴方程x²-$\frac{k}{x}$-3=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即方程x³-3x-k=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)f（x）=x³-3x與y=k有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
由（Ⅰ）得：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）的最小值是f（1）=-2，
∵f（-x）=（-x）³-3（-x）=-x³+3x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上有最大值f（-1）=2，
∴當(dāng)0＜k＜2或-2＜k＜0時(shí)，直線y=k和函數(shù)f（x）d的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴k的范圍是（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明問題，函數(shù)的極值問題，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．