Question

15．如圖，已知O是△ABC內一點，∠AOB=150°，∠AOC=120°，向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模分別為2，1，3，若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，則實數m+n的值為$-3-3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出題意求出∠BOC=90°，由向量的數量積運算化簡$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=0，再化簡${\overrightarrow{OC}}^{2}=（m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}）^{2}$列出方程求值，由圖象確定m、n的值．

解答 解：∵∠AOB=150°，∠AOC=120°，∴∠BOC=90°，
則$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=0，
∵向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模分別為2，1，3，且$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OB}•（m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}）=0$，則$m\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}+n{\overrightarrow{OB}}^{2}=0$，
化簡得，$-\sqrt{3}m+n=0$，①
∵${\overrightarrow{OC}}^{2}=（m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}）^{2}$，∴${\overrightarrow{OC}}^{2}={m}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2mn\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{n}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$，
則9=$4{m}^{2}+{n}^{2}-2\sqrt{3}mn$，②，
由①②得，m²=9，m=±3，
由圖可得m=-3，代入①n=-3$\sqrt{3}$，
∴m+n=$-3-3\sqrt{3}$，
故答案為：$-3-3\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量的數量積運算，向量的模的轉化，以及向量垂直的充要條件的應用，對數學思維的要求比較高，難度大，易出錯．