Question

如果函數(shù)f（x）=x³-

3

2

x²+a在[-1，1]上的最大值是2，那么f（x）在[-1，1]上的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′（x）=3x²-3x，令f′（x）=0，可得x=0，或x=1；因?yàn)閒（0）=a，f（-1）=-

5

2

+a，f（1）=-

1

2

+a，所以f（x）_max=a=2，f（x）_min=-

5

2

+a=-

1

2

．

解答： 解：f（x）=x³-

3

2

x²+a，f′（x）=3x²-3x，
令f′（x）=0，
可得x=0，或x=1；
①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，在區(qū)間[0，1]上，f′（x）＜0，
可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（0）=a=2，
f（x）_min=f（1）=a-

1

2

，
解得a=2；
②當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，在區(qū)間[-1，0]上，f′（x）＞0，
可得f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，
所以f（x）_min=f（-1）=a-

5

2

，
綜上，f（x）_min=f（-1）=a-

5

2

=2-

5

2

=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．