Question

3．已知x₀是函數(shù)f（x）=2sinx-πl(wèi)nx（x∈（0，π））的零點(diǎn)，0＜x₁＜x₂＜π，則
①x₀∈（1，e）；
②x₀∈（e，π）；
③f（x₁）-f（x₂）＜0；
④f（x₁）-f（x₂）＞0．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①④
• B． ②④
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 根據(jù)端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)，利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理判斷是否存在零點(diǎn)，來判斷①②是否正確；
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，來判斷③④是否正確．

解答 解：∵f（1）=2sin1-πl(wèi)n1=2sin1＞0，f（e）=2sine-π＜0，
∵f（x）為連續(xù)函數(shù)且f（1）•f（e）＜0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，在（1，e）內(nèi)存在零點(diǎn)，
又∵f′（x）=2cosx-$\frac{π}{x}$，當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2cosx＜2，$\frac{π}{x}$＞2，
∴f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，cosx＜0，∴f′（x）＜0，
∴函數(shù)在（0，π）上是減函數(shù)，
故①④正確．
故選：A．

點(diǎn)評 本題借助考查命題的真假判斷及應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)判定及利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性．