18.設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=2.若點(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2-2的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=$\frac{2}{{{a_{n+1}}•{a_n}}}$,是否存在最小的正數(shù)M,使得對任意n∈N*都有b1+b2+…+bn<M成立?請說明理由.

分析 (1)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2-2可得:f′(x)=x2+2x.把點(an,an+12-2an+1)(n∈N*)代入,利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)利用“裂項求和”方法及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2-2可得:f′(x)=x2+2x.
∴${a_{n+1}}^2-2{a_{n+1}}={a_n}^2+2{a_n}⇒({a_{n+1}}+{a_n})({a_{n+1}}-{a_n}-2)=0$,
又∵{an}是正項數(shù)列,∴an+1-an-2=0,即an+1-an=2,
又∵a1=2,∴an=a1+(n-1)d=2n.
(2)$b_n=\frac{2}{{a_{n+1}.a(chǎn)_n}}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}$,
∴b1+b2+…$+{b_n}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+…(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}$<$\frac{1}{2}$,
∴M的最小正數(shù)為$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、導(dǎo)數(shù)的運算法則,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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