分析 (1)由勾股定理得AB⊥BD,由面面垂直得AB⊥平面EBD,由此能證明AB⊥DE;
(2)由(1)知ED⊥平面ABD,∠ABD=90°,以D為原點(diǎn),以DB為x軸,以DC為y軸,以DE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AF與平面ADE所成角正弦值,從而求出點(diǎn)F到平面ADE的距離.
解答 (1)證明:在△ABD中,
∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°,
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}{+AD}^{2}-2AB•ADcos∠DAB}$=2$\sqrt{3}$,
∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD,
平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD,
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD,∴AB⊥DE;
(2)解:由(1)知ED⊥平面ABD,∠ABD=90°,
∴∠BDC=90°,故以D為原點(diǎn),以DB為x軸,
以DC為y軸,以DE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
,
∵平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4,
∴BD=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$,
則B(2$\sqrt{3}$,0,0),E(0,0,2),∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn),∴F($\sqrt{3}$,0,1),
A(2$\sqrt{3}$,-2,0),D(0,0,0),
∴$\overrightarrow{AF}$=(-$\sqrt{3}$,2,1),$\overrightarrow{DA}$=(2$\sqrt{3}$,-2,0),$\overrightarrow{DE}$=(0,0,2),
設(shè)平面DAE的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DA}$=0,$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x-2y=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,$\sqrt{3}$,0),
設(shè)直線AF與平面ADE所成角為θ,
則sinθ=|cos<$\overrightarrow{AF}$,$\overrightarrow{n}$$\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}+0}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$>|=|$\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}+0}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{8}$,
直線AF與平面ADE所成角正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{8}$,
∴點(diǎn)F到平面ADE的距離是$\frac{\sqrt{6}}{8}$•|$\overrightarrow{AF}$|=$\frac{\sqrt{6}}{8}×\sqrt{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | 3 | B. | 2 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 1 |
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A. | ①④ | B. | ②④ | C. | ①③ | D. | ②③ |
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A. | 第4項(xiàng) | B. | 第5項(xiàng) | C. | 第6項(xiàng) | D. | 第7項(xiàng) |
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A. | 1007 | B. | 1008 | C. | 2014 | D. | 2015 |
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