Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊三邊分別為a，b，c，已知f（A）=4sinAsin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{A}{2}$）+cos2A，若滿足|f（A）-m|＜2對(duì)任意三角形都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（A），由A的范圍可得f（A）的范圍，由恒成立可得m＜[f（x）+2]_min且m＞[f（x）-2]_max，可得答案．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（A）=4sinA•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+A）}{2}$+cos2A
=2sinA（1+sinA）+1-2sin²A
=2sinA+1，
∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，
∴f（x）的值域是[-1，3]；
（2）當(dāng)A∈（0，π）時(shí)，sinA∈（0，1]，
∴f（x）∈（1，3]，
由|f（x）-m|＜2可得-2＜f（x）-m＜2，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立．
∴m＜[f（x）+2]_min=3，且m＞[f（x）-2]_max=1．
故m的取值范圍是（1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變形，涉及恒成立問(wèn)題，屬中檔題．