Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

1+ax

x-1

（a為常數(shù)）是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值與函數(shù) f（x）的定義域；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈（1，+∞） 時(shí)，f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接由奇函數(shù)的定義列式求解a的值，然后由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0求解x的取值集合得答案；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)f（x）+log（x-1）為log₂（1+x），由x的范圍求其值域得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵知函數(shù)f（x）=log₂

1+ax

x-1

是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴log2

1-ax

-x-1

=-log2

1+ax

x-1

，
即log2

ax-1

x+1

=log2

x-1

1+ax

，
∴a=1．
令

1+x

x-1

＞0，解得：x＜-1或x＞1．
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|x＜-1或x＞1}；
（Ⅱ）f（x）+log₂（x-1）=log₂（1+x），
當(dāng)x＞1時(shí)，x+1＞2，
∴l(xiāng)og₂（1+x）＞log₂2=1，
∵x∈（1，+∞），f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立，
∴m≤1，
m的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．