Question

在平面直角坐標系xOy中，已知以C₁為圓心的圓的方程為：（x+1）²+y²=1，以C₂為圓心的圓的方程為：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）若過點C₁的直線l沿x軸向左平移3個單位，沿y軸向下平移4個單位后，回到原來的位置，求直線l被圓C₂截得的弦長；
（Ⅱ）圓D是以1為半徑，圓心在圓C₃：（x+1）²+y²=9上移動的動圓，若圓D上任意一點P分別作圓C₁的兩條切線PE，PF，切點為E，F(xiàn)，求

C1E

•

C1F

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（x+1），向左平移3個單位，向下平移4個單位后得：y=k（x+3）+k-4=kx+k+3k-4，可得l的方程，求出圓心C₂（3，4）到l：4x-3y+4=0的距離，即可求直線l被圓C₂截得的弦長；
（Ⅱ）利用數(shù)量積公式，求出

C1E

•

C1F

，即可求出

C1E

•

C1F

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（x+1），
向左平移3個單位，向下平移4個單位后得：y=k（x+3）+k-4=kx+k+3k-4
依題意得3k-4=0即k=

4

3

；所以l：4x-3y+4=0
所以圓心C₂（3，4）到l：4x-3y+4=0的距離為

4

5

．
所以被截得弦長為2

12-( 4 5 )2

=

6

5

…．（6分）
（Ⅱ）動圓D是圓心在定圓（x+1）²+y²=9上移動，半徑為1的圓
設∠EC₁F=2α，則在Rt△PC₁E中，cosα=

|C1E|

|PC1|

=

1

|PC1|

，

有cos2α=2cos2α-1=

2

|PC1|2

-1，則

C1E

•

C1F

=|

C1E

||

C1F

|cos2α=cos2α=

2

|PC1|2

-1
由圓的幾何性質得，|DC₁|-r≤|PC₁|≤|DC₁|+r，即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC1|2≤16
則

C1E

•

C1F

的最大值為-

1

2

，最小值為-

7

8

． 故

C1E

•

C1F

∈[-

7

8

，-

1

2

]．…..（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．