Question

15．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，已知a₂=b₂=2，d=q=2
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記C_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)已知條件可分別求出首項(xiàng)，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n=2n-2、b_n=2^n-1可知C_n=$\frac{n-1}{{2}^{n-2}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₂=2，d=2，
∴a₁=a₂-d=2-2=0，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=0+2（n-1）=2n-2；
∵b₂=2，q=2，
∴b₁=$\frac{_{2}}{q}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=1•2^n-1=2^n-1；
（2）∵a_n=2n-2，b_n=2^n-1，
∴C_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{2n-2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n-1}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+2•$\frac{1}{{2}^{1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n=1+$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{1-\frac{1}{2n-1}}{1-\frac{1}{2}}$-（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$
=2-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．