Question

18．判斷命題“若a=2，或$\frac{11}{5}$≤a＜3，則關于x的一元二次方程x²-2ax+a+2=0在區(qū)間（1，3）上有且只有一個根”的真假．

Answer 1

分析 a=2時，容易求出方程有二重根2∈（1，3），$\frac{11}{5}≤a＜3$時先判斷出原方程有兩個不同實根，然后說明要滿足原方程在（1，3）上只有一個根，需滿足$\frac{11}{5}≤a＜3$即可．

解答 解：①a=2時，解x²-4x+4=0，得x=2，滿足原方程在（1，3）上相等的兩根；
②$\frac{11}{5}≤a＜3$時，對于方程x²-2ax+a+2=0；
$△=4{a}^{2}-4a-8=4（a-\frac{1}{2}）^{2}-9$；
$a=\frac{11}{5}$時，$4（\frac{11}{5}-\frac{1}{2}）^{2}-9=\frac{64}{25}＞0$；
∴此時，原方程有兩個不同實數(shù)根，若滿足方程在（1，3）上有且只有一個根，設f（x）=x²-2ax+a+2，則：
$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3-a≤0}\\{f（3）=11-5a＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=11-5a≤0}\\{f（1）=3-a＞0}\end{array}\right.$；
解得$\frac{11}{5}≤a＜3$；
∴這種情況下原方程在（1，3）上有且只有一個根；
∴原命題為真命題．

點評 考查真假命題的概念，一元二次方程的實數(shù)根的個數(shù)與判別式△的關系，以及二次函數(shù)的單調(diào)性．