5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足方程xy=1(x>0).
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P到直線l:x+2y-$\sqrt{2}$=0距離的最小值;
(Ⅱ)設(shè)定點(diǎn)A(a,a),若點(diǎn)P,A之間的最短距離為2$\sqrt{2}$,求滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值.

分析 (Ⅰ)由點(diǎn)到直線的距離公式與基本不等式的性質(zhì)即可得出.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)$P(x,\frac{1}{x})$(x>0),則$d=\sqrt{{{(x-a)}^2}+{{(\frac{1}{x}-a)}^2}}=\sqrt{({x^2}+\frac{1}{x^2})-2a(x+\frac{1}{x})+2{a^2}}$,設(shè)$x+\frac{1}{x}=t$(t≥2),則${x^2}+\frac{1}{x^2}={t^2}-2$$d=\sqrt{{{(t-a)}^2}+{a^2}-2}$,設(shè)f(t)=(t-a)2+a2-2(t≥2),對(duì)a與2的大小關(guān)系分類討論即可得出.

解答 解:(Ⅰ)由點(diǎn)到直線的距離公式可得:$d=\frac{{|x+2y-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|x+\frac{2}{x}-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{{\sqrt{10}}}{5}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\sqrt{2}$時(shí)距離取得最小值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)$P(x,\frac{1}{x})$(x>0),則$d=\sqrt{{{(x-a)}^2}+{{(\frac{1}{x}-a)}^2}}=\sqrt{({x^2}+\frac{1}{x^2})-2a(x+\frac{1}{x})+2{a^2}}$,
設(shè)$x+\frac{1}{x}=t$(t≥2),則${x^2}+\frac{1}{x^2}={t^2}-2$,$d=\sqrt{{{(t-a)}^2}+{a^2}-2}$,設(shè)f(t)=(t-a)2+a2-2(t≥2)
對(duì)稱軸為t=a
分兩種情況:
(1)a≤2時(shí),f(t)在區(qū)間[2,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),故t=2時(shí),f(t)取最小值
∴${d_{min}}=\sqrt{{{(2-a)}^2}+{a^2}-2}=2\sqrt{2}$,∴a2-2a-3=0,∴a=-1(a=3舍).
(2)a>2時(shí),∵f(t)在區(qū)間[2,a]上是單調(diào)減,在區(qū)間[a,+∞)上是單調(diào)增,
∴t=a時(shí),f(t)取最小值,
∴${d_{min}}=\sqrt{{{(a-a)}^2}+{a^2}-2}=2\sqrt{2}$,∴$a=\sqrt{10}$($a=-\sqrt{10}$(舍),
綜上所述,a=-1或$\sqrt{10}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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