Question

16．在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{CE}$，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{5}{4}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法及條件便有：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，由條件可得到$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{CA}$三向量的長度及其夾角，從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．

解答 解：如圖，根據(jù)條件：
$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}）$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}$$+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}$=$-\frac{1}{4}$．
故選A．

點(diǎn)評 考查向量加法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式，注意正確確定向量的夾角．