Question

5．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈Z，滿足|f（x₀）|≤$\frac{1}{4}$，則稱x₀為函數(shù)的一個“近零點”，已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有四個不同的“近零點”，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$）
• B． [$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$]
• C． （0，$\frac{2}{9}$]
• D． （0，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 易知a不變時，函數(shù)f（x）的圖象的形狀不變，且四個不同的“近零點”的最小間距為3，對稱軸在區(qū)間中間時可取到a的最大值，通過舉a=$\frac{1}{5}$時，由|f（-1）|≤$\frac{1}{4}$，且|f（0）|≤$\frac{1}{4}$，可得a無最小值，從而解得a的范圍，

解答 解：∵a不變時，函數(shù)f（x）的圖象的形狀不變；
∴記f（x）=a（x-k）²+h，
四個不同的“近零點”的最小間距為3，
故易知對稱軸在區(qū)間中間時可取到a的最大值，
故不妨記f（x）=a（x-$\frac{1}{2}$）²+h，
故f（-1）-f（0）≤$\frac{1}{4}$×2，
即$\frac{9}{4}$a+h-（$\frac{1}{4}$a+h）≤$\frac{1}{2}$，
故0＜a≤$\frac{1}{4}$，
又若a=$\frac{1}{5}$時，f（x）=$\frac{1}{5}$（x-$\frac{1}{2}$）²+h，
由|f（-1）|=|h+$\frac{9}{20}$|≤$\frac{1}{4}$，且|f（0）|=|h+$\frac{1}{20}$|≤$\frac{1}{4}$，
即為-$\frac{3}{10}$≤h≤$\frac{1}{5}$，且-$\frac{7}{10}$≤h≤-$\frac{1}{5}$，
可得-$\frac{3}{10}$≤h≤-$\frac{1}{5}$成立，故a=$\frac{1}{5}$成立，
且$\frac{1}{5}$＜$\frac{2}{9}$，故$\frac{2}{9}$不為最小值．
則B不正確．
故選：D．

點評 本題考查了學(xué)生對新定義的理解和運用及二次函數(shù)的圖象的形狀應(yīng)用，屬于中檔題．