Question

20．將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移1個單位，再縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的$\frac{π}{3}$倍，然后再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=$\sqrt{3}$sinx的圖象．
（1）求y=f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若h（x）=-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$f（x）+2-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$+m的定義域為[$\frac{9}{2}$，$\frac{15}{2}$]，值域為[{2，5}]，求m的值．
（3）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，求當x∈[0，1]時，有t²-2t-3≤g（x）≤-$\frac{1}{2}（{t^2}-t-3）$恒成立，求t的范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結論．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得h（x）的值域，可得m的值．
（3）求得當x∈[3，4]時，y=f（x）的最值，即為當x∈[0，1]時，y=g（x）的最值，再根據(jù)當x∈[0，1]時，有t²-2t-3≤g（x）≤-$\frac{1}{2}（{t^2}-t-3）$恒成立，求t的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\sqrt{3}$sinx的圖象向下平移1個單位得y=$\sqrt{3}$sinx-1，
再將各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{3}{π}$倍得到y(tǒng)=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$x-1，
然后向右移1個單位得y=f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）-1的圖象．
所以函數(shù)y=f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 6k-$\frac{1}{2}$≤x≤6k+$\frac{5}{2}$，k∈Z，
∴y=f（x）的遞增區(qū)間是[6k-$\frac{1}{2}$，6k+$\frac{5}{2}$]，k∈Z．
（2）h（x）=-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$f（x）+2-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$+m=$-2sin（\frac{π}{3}x-\frac{π}{3}）+m+2$，
∵$\frac{9}{2}$≤x≤$\frac{15}{2}$時，$\frac{3π}{2}≤\frac{π}{3}x≤\frac{5π}{2}$，$\frac{7π}{6}$≤$\frac{π}{3}x-\frac{π}{3}$≤$\frac{13π}{6}$，
∴-1≤$sin（\frac{π}{3}x-\frac{π}{3}）$≤$\frac{1}{2}$，∴1+m≤h（x）≤4+m．
∵h（x）的值域為[2，5]，∴$\left\{\begin{array}{l}{1+m=2}\\{4+m=5}\end{array}\right.$，求得m=1．
（3）因為函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，
∴當x∈[0，1]時，y=g（x）的最值，即為當x∈[3，4]時，y=f（x）的最值．
∵x∈[3，4]時，$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，π]，∴sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∴f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴y=g（x）的最小值是-1，最大值為$\frac{1}{2}$．
再根據(jù) t²-2t-3≤g（x）≤-$\frac{1}{2}（{t^2}-t-3）$恒成立，
可得t²-2t-3≤-1，且$\frac{1}{2}$（t²-t-3）≥$\frac{1}{2}$，∴1-$\sqrt{3}$≤t≤2，∴$t∈[1-\sqrt{3}，2]$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．