Question

5．復(fù)數(shù)z₁=sin²x+i•cos2x，z₂=sin²x+i•cosx（其中x∈R，i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z₁、z₂能否表示同一個(gè)點(diǎn)：若能，指出該點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 由題意得到關(guān)于x的三角方程，求解三角方程得到x值，即可求得復(fù)數(shù)z₁、z₂的值．

解答 解：復(fù)數(shù)z₁=sin²x+i•cos2x，z₂=sin²x+i•cosx，
若復(fù)數(shù)z₁、z₂表示同一個(gè)點(diǎn)，則：
$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}x=si{n}^{2}x}\\{cos2x=cosx}\end{array}\right.$，由cos2x=cosx，得2cos²x-cosx-1=0，
解得cosx=1或cosx=$-\frac{1}{2}$，
當(dāng)cosx=1時(shí)，x=2kπ，k∈Z，此時(shí)cos2x=1，sin²x=0，z₁=z₂=i；
當(dāng)cosx=-$\frac{1}{2}$時(shí)，x=2kπ$±\frac{2}{3}π$，此時(shí)cos2x=$-\frac{1}{2}$，$si{n}^{2}x=\frac{3}{4}$，${z}_{1}={z}_{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}i$．
∴在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z₁、z₂能表示同一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)為i或$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}i$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了三角函數(shù)值的求法，屬中檔題．