Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=4a₁，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由已知中正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₇=a₆+2a₅，我們易求出數(shù)列的公比，再結(jié)合存在兩項(xiàng)a_m、a_n使得

aman

=4a1，我們可以求出正整數(shù)m，n的和，再結(jié)合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
∵a₇=a₆+2a₅，則a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
若

aman

=4a1，
則m+n=6
則6（

1

m

+

4

n

）=（m+n）（

1

m

+

4

n

）=5+（

n

m

+

4m

n

）≥5+4=9
則

1

m

+

4

n

≥

9

6

=

3

2

故答案為

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，其中根據(jù)已知中正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₇=a₆+2a₅若存在兩項(xiàng)a_m、a_n使得

aman

=4a1，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求最值是解答本題的關(guān)鍵．