【題目】已知函數(shù).

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(不需要證明);

(2)探究是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)為奇函數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)在(2)的條件下,解不等式.

【答案】(1)增函數(shù);(2)存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件,且當(dāng)時(shí),是奇函數(shù)(3)。

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)解析式,利用作差法明確函數(shù)的單調(diào)性;

(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義,我們令f(x)+f(﹣x)=0,由此構(gòu)造關(guān)于a的方程,解方程可得a的值;

(3)根據(jù)(2)中條件可得函數(shù)的解析式,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)及恒成立的實(shí)際意義,可得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

(1)任取x1,x2R且x1<x2

則f(x1)﹣f(x2)==,

∵y=3x在R上是增函數(shù),且x1<x2,

<0,+1>0,+1>0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).

(2)f(x)=a﹣是奇函數(shù),則f(﹣x)=﹣f(x),

即a﹣=﹣(a﹣),

2a=+=+=1,

故a=,

當(dāng)a=時(shí),f(x)是奇函數(shù).

(3)在(2)的條件下,f(x)是奇函數(shù),

則由f(t2+1)+f(2t﹣4)≤0,

可得:f(t2+1)≤﹣f(2t﹣4)=f(4﹣2t),

又f(x)在R上是增函數(shù),則得t2+1≤4﹣2t,﹣3≤t≤1,

故原不等式的解集為:{t|﹣3≤t≤1}.

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(2)現(xiàn)準(zhǔn)備建一座橋MN,其中M,N分別在DE,AC上,且MN⊥AC,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t.
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