Question

【題目】已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的圖形是圓．

(1)求t的取值范圍；

(2)求圓的面積取最大值時t的值；

(3)若點P(3,4t2)恒在所給圓內(nèi)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)－<t<1;(2)t＝;(3)0<t<．

【解析】

（1）先化圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)半徑大于零得不等式，解得t的取值范圍；（2）根據(jù)半徑最大時面積最大，轉(zhuǎn)化為求半徑最大值，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最大值取法即得結(jié)果；（3）根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果.

(1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，

∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，∴－<t<1．

(2)∵r＝，

∴當(dāng)t＝∈（－）時，rmax＝．

故當(dāng)t＝時，圓的面積最大．

(3)當(dāng)且僅當(dāng)32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9<0時，點P在圓內(nèi)，

∴8t2－6t<0即0<t<．