Question

在公差不為零的等差數列{a_n}中，已知a₁＝1，且a₁，a₂，a₅依次成等比數列．數列{b_n}滿足b_n＋1＝2b_n－1，且b₁＝3.

(1)求{a_n}，{b_n}的通項公式；

(2)設數列的前n項和為S_n，試比較S_n與1－的大�。�

Answer 1

解：(1)因為a₁＝1，且a₁，a₂，a₅依次成等比數列，

所以a＝a₁·a₅，即(1＋d)²＝1·(1＋4d)，

所以d²－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)，

所以a_n＝1＋2(n－1)＝2n－1.

因為b_n＋1＝2b_n－1，所以b_n＋1－1＝2(b_n－1)，

所以{b_n－1}是首項為b₁－1＝2，公比為2的等比數列．

所以b_n－1＝2×2^n－1＝2ⁿ.

所以b_n＝2ⁿ＋1.

(2)因為

所以，當n＝1,2時，2n＝2ⁿ，S_n＝1－；

當n≥3時，2n<2ⁿ，S_n<1－.