Question

P為正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁對角線BD₁上的一點，且BP＝λBD₁(λ∈(0,1))．下面結論：

①A₁D⊥C₁P；

②若BD₁⊥平面PAC，則λ＝；

③若△PAC為鈍角三角形，則λ∈；

④若λ∈，則△PAC為銳角三角形．

其中正確的結論為________．(寫出所有正確結論的序號)

Answer 1

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[解析]　在正方體中，易證A₁D⊥平面AD₁C₁B，又C₁P⊂平面AD₁C₁B，所以A₁D⊥C₁P，①正確；若BD₁⊥平面PAC，則點P為平面ACB₁與體對角線BD₁的交點，利用等體積法可得BP＝BD₁，即λ＝，②正確；以點D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在射線分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D₁(0,0,1)，又BP＝λBD₁，所以P(1－λ，1－λ，λ)，若△PAC為鈍角三角形，只能是∠APC是鈍角，所以·＝(λ，λ－1，－λ)·(λ－1，λ，－λ)＝3λ²－2λ<0，解得λ∈，所以③錯誤；由③可知若λ∈，則△PAC為銳角三角形，④正確．所以正確的結論序號為①②④.