Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）-ax．
（1）若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線的斜率為0，求a的值；
（2）在第（1）問的前提下，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性及最值．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（0）=0，求出a的值即可；（2）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）y=f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$-a，
∴f′（0）=$\frac{{e}^{0}}{{e}^{0}+1}$-a=$\frac{1}{2}$-a=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得：
f（x）=ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{2{（e}^{x}+1）}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴f（x）_最小值=f（0）=ln2，無最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求切線的斜率問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．