Question

8．若過(guò)點(diǎn)A（0，-1）的直線l與曲線x²+（y-3）²=12有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為$（{-∞，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}}]∪[{\frac{{\sqrt{5}}}{5}，+∞}）$．

Answer 1

分析 用代數(shù)法，先聯(lián)立方程，消元后得到一個(gè)方程，再考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0與不為0討論，即可求得直線l的斜率的取值范圍

解答 解：設(shè)直線方程為y=kx-1（k≠0），
根據(jù)題意：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+（y-3）^{2}=12}\end{array}\right.$，
消去y整理得（1-k²）x²-8kx+4=0，
當(dāng)1-k²=0即k=±1時(shí)，方程有解．
當(dāng)1-k²≠0時(shí)，
∵△≥0，即64k²-16（1-k²）≥0，
∴k∈（-∞，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪[$\frac{\sqrt{5}}{5}$，+∞）．
故答案是：$（{-∞，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}}]∪[{\frac{{\sqrt{5}}}{5}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是直線與圓的關(guān)系，主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，在只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不要忽視了與漸近線平行的情況．