Question

11．在平面幾何里有射影定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC邊上的射影，則AB²=BD•BC”擴(kuò)展到空間，若三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，點O是A在底面BCD上的射影，且O在△BCD內(nèi)，類比平面上三角形的射影定理，△ABC、△BOC、△BCD三者的面積關(guān)系是（S_△ABC）²=S_△BOC．S_△BDC．．

Answer 1

分析 這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，由已知在平面幾何中，（如圖所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，則AB²=BD•BC，我們可以類比這一性質(zhì)，推理出若三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O為垂足，則（S_△ABC）²=S_△BOC．S_△BDC．

解答 解：如圖所示：

由已知在平面幾何中，
若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，
則AB²=BD•BC，
我們可以類比這一性質(zhì)，推理出：
若三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O為垂足，
則（S_△ABC）²=S_△BOC．S_△BDC．
故答案為：（S_△ABC）²=S_△BOC．S_△BDC．

點評 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．