Question

5．已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2．
若同時(shí)滿足條件：
①任意x∈R滿足f（x）＜0或g（x）＜0；
②存在x∈（-∞，-4）滿足f（x）g（x）＜0，則m的取值范圍是（-4，-2）．

Answer 1

分析 因g（x）=2^x-2＜0時(shí)x＜1，由題意f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍；因x∈（-∞，-4）時(shí)f（x）g（x）＜0，而g（x）=2^x-2＜0，則f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）時(shí)成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍．

解答 解：∵g（x）=2^x-2，當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）＜0，
又?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立，
∴由二次函數(shù)的性質(zhì)知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左邊，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-m-3＜1}\\{2m＜1}\end{array}\right.$，
解得-4＜m＜0，
又x∈（-∞，-4）時(shí)，f（x）g（x）＜0，
此時(shí)g（x）=2^x-2＜0恒成立，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，
則只要-4比x₁，x₂中的較小的根大即可．
（i）當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，-m-3＜-4不成立，
（ii）當(dāng)m=-1時(shí)，有2等根，不成立，
（iii）當(dāng)-4＜m＜-1時(shí)，2m＜-4即m＜-2成立；
綜上可得①②成立時(shí)-4＜m＜-2．
故答案為：（-4，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題用全稱命題與存在性命題考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用問題，是易錯(cuò)題．