Question

已知不等式x²-4x+3＜0的解集是A．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（a-x）（a∈R）的定義域為集合B，若A⊆B，求a的取值范圍； 
（2）設(shè)不等式ax²-2x-2a＞0（a∈R且a≠0）的解集為C，若A∩C≠∅，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解不等式x²-4x+3＜0可得A由題意可得B=（-∞，a）由A⊆B 結(jié)合數(shù)軸可求a的取值范圍；            
（2）（法一）設(shè)g（x）=ax²-2x-2a，由A∩C≠φ可知1，3∈C，則①a＞0時，g（3）＞0；②a＜0時，g（1）＞0可求a的范圍，
（法二）由f（x）為二次函數(shù)，可得a≠0，令f（x）=0，解得其兩根為x₁=

1

a

-

2+ 1 a2

＜0，x₂=

1

a

+

2+ 1 a2

＞0，
①當a＞0時，A={x|x＜x₁或x＞x₂}，又A∩C≠∅，則滿足：x₂＜3，②當a＜0時，A={x|x₁＜x＜x₂}，滿足x₂＞1，從而可求a的范圍．

解答： 解：解不等式x²-4x+3＜0得：A={x|1＜x＜3}，
（1）由a-x＞0，解得：x＜a，∴B={x|x＜a}，
若A⊆B，則a≥3，
∴a的范圍是：{a|a≥3}．
（2）設(shè)g（x）=ax²-2x-2a1
①a＞0時，g（3）＞0⇒a＞

6

7

；
②a＜0時，g（1）＞0⇒a＜-2
則a的取值范圍是（-∞，-2）∪（

6

7

，+∞）．
另解：∵f（x）為二次函數(shù)，∴a≠0，令f（x）=0，解得其兩根為x₁=

1

a

-

2+ 1 a2

＜0，x₂=

1

a

+

2+ 1 a2

＞0
①當a＞0時，A={x|x＜x₁或x＞x₂}，又知集合B={x|1＜x＜3}，A∩C≠∅，則滿足：x₂＜3，即

1

a

+

2+ 1 a2

＜3，
∴a＞

6

7

；
②當a＜0時，A={x|x₁＜x＜x₂}，A∩C≠∅其滿足x₂＞1，即

1

a

+

2+ 1 a2

＞1，解得a＜-2．
綜上所述，使A∩C≠∅成立的a的取值范圍是（-∞，-2）∪（

6

7

，+∞）．

點評：本題目主要考查了二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的定義域的求解及二次函數(shù)與二次不等式、二次方程之間的相互轉(zhuǎn)化，結(jié)合之間的包含關(guān)系的應(yīng)用．