Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），又點(diǎn)A（8，0），B（-8，t），C（8sinθ，t）．
（1）若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，當(dāng)tsinθ取最小值時(shí)，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=0，解方程即可．
（2）根據(jù)向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，建立方程關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AB}=（-16，t），\overrightarrow a=（1，2）$
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=0，即-16+2t=0，得t=8
故$\overrightarrow{OB}=（-8，8）$…（6分）
（Ⅱ）∵向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，$\overrightarrow{AC}=（8sinθ-8，t）$，$\overrightarrow a=（1，2）$
∴$\frac{8sinθ-8}{1}=\frac{t}{2}$，得t=16sinθ-16…（8分），
$tsinθ=16{sin^2}θ-16sinθ=16{（sinθ-\frac{1}{2}）^2}-4$
故當(dāng)sinθ=$\frac{1}{2}$時(shí)，tsinθ取最小值4，…（10分）
此時(shí)$\overrightarrow{OC}=（4，-8）$，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=（8，0）•（4，-8）=32$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量垂直和向量關(guān)系的坐標(biāo)公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．